有限数学示例

$\begin{array}{c} x & P (x) \\ 5 & 0.1 \\ 10 & 0.2 \\ 13 & 0.3 \\ 16 & 0.1 \\ 17 & 0.3 \end{array}$

解题步骤 1

证明给定的表格满足概率分布的两个性质。

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解题步骤 1.1

取自独立值集合（例如 $0$ 、 $1$ 、 $2$ ……）的离散随机变量 $x$ 。其概率分布将概率 $x$ 赋值给每一个可能值 $P (x)$ 。对于每一个 $x$ ，概率 $P (x)$ 介于 $0$ （含）和 $1$ （含）之间，且所有可能 $x$ 值的概率之和等于 $1$ 。

1. 对每一个 $x$ ， $0 \leq P (x) \leq 1$ 。

2. $P (x_{0}) + P (x_{1}) + P (x_{2}) + \dots + P (x_{n}) = 1$ .

解题步骤 1.2

$0.1$ 介于 $0$ （含）和 $1$ （含）之间，符合概率分布的第一个性质。

$0.1$ 介于 $0$ （含）和 $1$ （含）之间

解题步骤 1.3

$0.2$ 介于 $0$ （含）和 $1$ （含）之间，符合概率分布的第一个性质。

$0.2$ 介于 $0$ （含）和 $1$ （含）之间

解题步骤 1.4

$0.3$ 介于 $0$ （含）和 $1$ （含）之间，符合概率分布的第一个性质。

$0.3$ 介于 $0$ （含）和 $1$ （含）之间

解题步骤 1.5

$0.1$ 介于 $0$ （含）和 $1$ （含）之间，符合概率分布的第一个性质。

$0.1$ 介于 $0$ （含）和 $1$ （含）之间

解题步骤 1.6

$0.3$ 介于 $0$ （含）和 $1$ （含）之间，符合概率分布的第一个性质。

$0.3$ 介于 $0$ （含）和 $1$ （含）之间

解题步骤 1.7

对于每一个 $x$ ，概率 $P (x)$ 都介于 $0$ 和 $1$ 的闭区间之内，这满足了概率分布的第一条性质。

对所有 x 值的 $0 \leq P (x) \leq 1$

解题步骤 1.8

求所有可能 $x$ 值的概率之和。

$0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.1 + 0.3$

解题步骤 1.9

所有可能 $x$ 值的概率之和为 $0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.1 + 0.3 = 1$ 。

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解题步骤 1.9.1

将 $0.1$ 和 $0.2$ 相加。

$0.3 + 0.3 + 0.1 + 0.3$

解题步骤 1.9.2

将 $0.3$ 和 $0.3$ 相加。

$0.6 + 0.1 + 0.3$

解题步骤 1.9.3

将 $0.6$ 和 $0.1$ 相加。

$0.7 + 0.3$

解题步骤 1.9.4

将 $0.7$ 和 $0.3$ 相加。

$1$

解题步骤 1.10

对于每一个 $x$ ， $P (x)$ 的概率都介于 $0$ 和 $1$ 的闭区间内。此外，所有可能的 $x$ 的概率之和等于 $1$ ，这表示该表满足概率分布的两条性质。

该表满足概率分布的两个性质：

性质 1：对所有 $x$ 值满足 $0 \leq P (x) \leq 1$

性质 2： $0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.1 + 0.3 = 1$

该表满足概率分布的两个性质：

性质 1：对所有 $x$ 值满足 $0 \leq P (x) \leq 1$

性质 2： $0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.1 + 0.3 = 1$

解题步骤 2

如果分布的试验可以无限地继续下去，那么该分布的平均期望值为期望值。这等于每一个值乘以其离散概率。

$u = 5 \cdot 0.1 + 10 \cdot 0.2 + 13 \cdot 0.3 + 16 \cdot 0.1 + 17 \cdot 0.3$

解题步骤 3

化简每一项。

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解题步骤 3.1

将 $5$ 乘以 $0.1$ 。

$u = 0.5 + 10 \cdot 0.2 + 13 \cdot 0.3 + 16 \cdot 0.1 + 17 \cdot 0.3$

解题步骤 3.2

将 $10$ 乘以 $0.2$ 。

$u = 0.5 + 2 + 13 \cdot 0.3 + 16 \cdot 0.1 + 17 \cdot 0.3$

解题步骤 3.3

将 $13$ 乘以 $0.3$ 。

$u = 0.5 + 2 + 3.9 + 16 \cdot 0.1 + 17 \cdot 0.3$

解题步骤 3.4

将 $16$ 乘以 $0.1$ 。

$u = 0.5 + 2 + 3.9 + 1.6 + 17 \cdot 0.3$

解题步骤 3.5

将 $17$ 乘以 $0.3$ 。

$u = 0.5 + 2 + 3.9 + 1.6 + 5.1$

解题步骤 4

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 4.1

将 $0.5$ 和 $2$ 相加。

$u = 2.5 + 3.9 + 1.6 + 5.1$

解题步骤 4.2

将 $2.5$ 和 $3.9$ 相加。

$u = 6.4 + 1.6 + 5.1$

解题步骤 4.3

将 $6.4$ 和 $1.6$ 相加。

$u = 8 + 5.1$

解题步骤 4.4

将 $8$ 和 $5.1$ 相加。

$u = 13.1$

解题步骤 5

分布的方差是对离差的度量并等于标准差的平方。

$s^{2} = \sum_{}^{} {(x - u)}^{2} \cdot (P (x))$

解题步骤 6

填入已知值。

${(5 - (13.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(10 - (13.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(13 - (13.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(16 - (13.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (13.1))}^{2} \cdot 0.3$

解题步骤 7

化简表达式。

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解题步骤 7.1

化简每一项。

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解题步骤 7.1.1

将 $- 1$ 乘以 $13.1$ 。

${(5 - 13.1)}^{2} \cdot 0.1 + {(10 - (13.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(13 - (13.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(16 - (13.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (13.1))}^{2} \cdot 0.3$

解题步骤 7.1.2

从 $5$ 中减去 $13.1$ 。

${(- 8.1)}^{2} \cdot 0.1 + {(10 - (13.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(13 - (13.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(16 - (13.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (13.1))}^{2} \cdot 0.3$

解题步骤 7.1.3

对 $- 8.1$ 进行 $2$ 次方运算。

$65.61 \cdot 0.1 + {(10 - (13.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(13 - (13.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(16 - (13.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (13.1))}^{2} \cdot 0.3$

解题步骤 7.1.4

将 $65.61$ 乘以 $0.1$ 。

$6.561 + {(10 - (13.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(13 - (13.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(16 - (13.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (13.1))}^{2} \cdot 0.3$

解题步骤 7.1.5

将 $- 1$ 乘以 $13.1$ 。

$6.561 + {(10 - 13.1)}^{2} \cdot 0.2 + {(13 - (13.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(16 - (13.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (13.1))}^{2} \cdot 0.3$

解题步骤 7.1.6

从 $10$ 中减去 $13.1$ 。

$6.561 + {(- 3.1)}^{2} \cdot 0.2 + {(13 - (13.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(16 - (13.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (13.1))}^{2} \cdot 0.3$

解题步骤 7.1.7

对 $- 3.1$ 进行 $2$ 次方运算。

$6.561 + 9.61 \cdot 0.2 + {(13 - (13.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(16 - (13.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (13.1))}^{2} \cdot 0.3$

解题步骤 7.1.8

将 $9.61$ 乘以 $0.2$ 。

$6.561 + 1.922 + {(13 - (13.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(16 - (13.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (13.1))}^{2} \cdot 0.3$

解题步骤 7.1.9

将 $- 1$ 乘以 $13.1$ 。

$6.561 + 1.922 + {(13 - 13.1)}^{2} \cdot 0.3 + {(16 - (13.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (13.1))}^{2} \cdot 0.3$

解题步骤 7.1.10

从 $13$ 中减去 $13.1$ 。

$6.561 + 1.922 + {(- 0.1)}^{2} \cdot 0.3 + {(16 - (13.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (13.1))}^{2} \cdot 0.3$

解题步骤 7.1.11

对 $- 0.1$ 进行 $2$ 次方运算。

$6.561 + 1.922 + 0.01 \cdot 0.3 + {(16 - (13.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (13.1))}^{2} \cdot 0.3$

解题步骤 7.1.12

将 $0.01$ 乘以 $0.3$ 。

$6.561 + 1.922 + 0.003 + {(16 - (13.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (13.1))}^{2} \cdot 0.3$

解题步骤 7.1.13

将 $- 1$ 乘以 $13.1$ 。

$6.561 + 1.922 + 0.003 + {(16 - 13.1)}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (13.1))}^{2} \cdot 0.3$

解题步骤 7.1.14

从 $16$ 中减去 $13.1$ 。

$6.561 + 1.922 + 0.003 + {2.9}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (13.1))}^{2} \cdot 0.3$

解题步骤 7.1.15

对 $2.9$ 进行 $2$ 次方运算。

$6.561 + 1.922 + 0.003 + 8.41 \cdot 0.1 + {(17 - (13.1))}^{2} \cdot 0.3$

解题步骤 7.1.16

将 $8.41$ 乘以 $0.1$ 。

$6.561 + 1.922 + 0.003 + 0.841 + {(17 - (13.1))}^{2} \cdot 0.3$

解题步骤 7.1.17

将 $- 1$ 乘以 $13.1$ 。

$6.561 + 1.922 + 0.003 + 0.841 + {(17 - 13.1)}^{2} \cdot 0.3$

解题步骤 7.1.18

从 $17$ 中减去 $13.1$ 。

$6.561 + 1.922 + 0.003 + 0.841 + {3.9}^{2} \cdot 0.3$

解题步骤 7.1.19

对 $3.9$ 进行 $2$ 次方运算。

$6.561 + 1.922 + 0.003 + 0.841 + 15.21 \cdot 0.3$

解题步骤 7.1.20

将 $15.21$ 乘以 $0.3$ 。

$6.561 + 1.922 + 0.003 + 0.841 + 4.563$

解题步骤 7.2

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 7.2.1

将 $6.561$ 和 $1.922$ 相加。

$8.483 + 0.003 + 0.841 + 4.563$

解题步骤 7.2.2

将 $8.483$ 和 $0.003$ 相加。

$8.486 + 0.841 + 4.563$

解题步骤 7.2.3

将 $8.486$ 和 $0.841$ 相加。

$9.327 + 4.563$

解题步骤 7.2.4

将 $9.327$ 和 $4.563$ 相加。

$13.89$

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